Зміст:
Види матриць
Квадратною матрицею називається матриця, у якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців (розміру n × n ), число n називається порядком матриці.
Діагональною матрицею називається квадратна матриця, всі елементи якої, що знаходяться не на головній діагоналі, дорівнюють нулю.
Верхньо трикутною матрицею називається матриця, всі елементи якої нижче головної діагоналі дорівнюють нулю.
Нижньо трикутною матрицею називається матриця, всі елементи якої вище головної діагоналі дорівнюють нулю.
N.B. Діагональна матриця – матриця, яка одночасно є верхньо трикутною та нижньо трикутною.
- якщо матриця містить нульовий рядок, то всі рядки, розміщені під ним, також нульові;
- якщо перший ненульовий елемент деякого рядка розташовано в стовпчику з номером i , і наступний рядок не нульовий, то перший ненульовий елемент наступного рядка має знаходитись в стовпці з номером більшим, ніж i .
Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!
Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.
Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]
Обернена матриця.
Якщо справа до квадратної матриці дописати одиничну матрицю того ж порядку і за допомоги елементарних перетворень над рядками перетворити отриману матрицю так, щоб початкова матриця стала одиничною, то матриця, отримана за допомоги одиничної, буде оберненою матрицею до початкової.
Якщо при перетвореннях в лівій частині матриці утвориться нульовий рядок (стовпчик), то початкова матриця не матиме оберненої матриці.
Розв’язання: Дописуємо до матриці A справа одиничну матрицю третього порядку:
Перетворимо ліву частину отриманої матриці в одиничну. Для цього від 3-тього рядка віднімемо 1-ий рядок:
Третій рядок поділимо на (-3) і поміняємо місцями з другим рядком:
Віднімемо від 1-го рядка 2-ий рядок, помножений на 4; від 3-го рядка 2-ий рядок, помножений на 2:
Віднімемо від 1-ого рядка 3-ій рядок:
Обчислення оберненої матриці за допомоги союзної матриці
Матриця Ã, елементи якої рівні алгебраїчним доповненням відповідних елементів матриці A, називається союзною матрицею.
Розв’язок: Знайдемо визначник матриці A:
= 2·2·1 + 4·1·2 + 1·0·1 – 1·2·2 – 2·1·1 – 4·0·1 = 4 + 8 + 0 – 4 – 2 – 0 = 6
Знайдемо алгебраїчне доповнення матриці A:
Знайдемо обернену матрицю:
Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!
Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.
Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]
Розділ 1. Елементи теорії матриць і визначники
Поняття матриці та її економічне тлумачення. Види матриць: квадратна, діагональна, одинична, нульова, симетрична, транспонована, трикутна, трапецеподібна. Дії з матрицями: множення матриці на число, додавання і віднімання матриць, множення матриць. Поняття лінійної залежності і незалежності рядків (стовпців) матриці. Застосування матриць в економічних розрахунках.
Тема. Визначники квадратних матриць, методи їх обчислення та властивості
1. Поняття визначників 2-го і 3-го порядків та їх обчислення.
Поняття визначника n-го порядку як розкладу його за елементами першого рядка. Поняття мінора та алгебраїчного доповнення елементів квадратної матриці.Розклад визначника за елементами рядка або стовпця (теорема Лапласа). Властивості визначника n-го порядку та їх використання для спрощення його обчислення. Поняття оберненої матриці та метод її обчислення.
Матрицею називається упорядкована таблиця чисел:
аij – елементи матриці, де i -номер рядка матрицi (i =1,…,m), j – номер стовпця матрицi (j=1,…,n), на перетинi яких знаходиться відповідний елемент.
- 1) Якщо кiлькiсть рядкiв матрицi m не дорiвнює кiлькостi її стовпцiв n, то матриця називається прямокутною.
- 2) Матриця, в якій кількість n рядків дорівнює кількості стовпців, називається квадратною n-го порядку.
- 3) Нульовою матрицею називається матриця, в якій всі елементи дорівнюють нулю.
- 4) Матрицю, що має тiльки один рядок (стовпець), називають вектором-рядком (вектором-стовпцем).
- 5) Дiагональна матриця має вигляд:
6) Одинична матриця n-го порядку:
7) Якщо в матрицi А помiняти мiсцями вiдповiднi рядки i стовпцi, то одержимо матрицю А T , яка називається транспонованою матрицею по вiдношенню до матрицi А.
- 1) Сумою двох матриць А і В рівних розмірів (mхn) називається матриця С того ж розміру, елементи якої сij дорівнюють сумі відповідних елементів матриць А і В.
- 2) Добутком матриці на число називається матриця, елементи якої одержані з даної множенням усіх її елементів на це число.
- 3) Добутком матриць А і В називається матриця С, елемент якої дорівнює сумі попарних добутків елементів i-того рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В.
Визначником 2-го порядку, складеним для квадратної матриці
Визначником 3-го порядку, складеним для квадратної матриці
Схематичне зображення правила трикутника:
Основні властивості визначників
Визначник не зміниться, якщо його рядки поміняти місцями з відповідними стовпцями.
При переставленні місцями будь-яких двох рядків визначник змінює знак на протилежний.
Якщо відповідні елементи двох рядків визначника рівні або пропорціональні, то визначник дорівнює нулю.
Якщо всі елементи якого-небудь рядка дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.
Загальний множник всіх елементів рядка можна винести за знак визначника.
Якщо кожний елемент деякого рядка визначника є сумою двох доданків, то цей визначник дорівнює сумі двох визначників, в одному з яких у тому ж рядку стоять перші доданки, а у другому – другі. Інші рядки у обох визначників однакові та співпадають з відповідними рядками даного визначника.
Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне й те ж саме число.
Мінор Mij елемента аij визначника – це визначник, який одержано з даного викресленням і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент.
Алгебраїчне доповнення Аij елемента аij – це мінор Мij цього елемента, взятий з відповідним знаком за схемою
Теорема (про розкладання визначника за елементами рядка або стовпця). Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення.
Матрицю А -1 називають оберненою по відношенню до квадратної матриці А, якщо
Для того, щоб квадратна матриця А мала обернену, необхідно і достатньо, щоб визначник матриці А не дорівнював нулю.
Формула для знаходження оберненої матриці:
де – визначник матриці А, – алгебраїчні доповнення елементів аij.
- 1. Що називається визначником? Які основні властивості визначників?
- 2. Які способи обчислення визначників? Приведіть приклади.
- 3. Чому дорівнює основний визначник невизначеної квадратної системи лінійних рівнянь?
4. Чи може однорідна лінійна система бути несумісною?
- 5. Запишіть вираз у вигляді одного визначника другого порядку.
- 6. Знайдіть добуток матриць:
- 7. Запишіть одиничну матрицю 4-го порядку.
- 8. Якій умові повинна задовольняти матриця, яка має обернену матрицю?
- 9. Заповнити пусті місця одним з можливих способів
- 10. Назвіть усі відомі Вам способи обчислення визначника 3-го порядку.
- 11. Чи будь-яка матриця має визначник? Відповідь пояснити.
- 12. Якій умові повинна задовольняти матриця, яка має обернену матрицю?
- 13. Який найбільший ранг може мати матриця розміром 4х2?
- 14. Обчисліть основний визначник системи
- 15. Скласти матрицю, транспоновану до матриці .
- 16. Заповнити пусті місця будь-яким з можливих способів: = –
- 17. Що можна стверджувати щодо сумісності лінійної системи, якщо ранг її розширеної матриці коефіцієнтів дорівнює кількості невідомих системи?
- 18. Сформулюйте теорему Кронекера-Капеллі.