Таблиця Піфагора для навчання множення

Вивчати таблицю множення найзручніше за таблицею Піфагора. Але коли дитина опановує множення, деякі батьки не використовують таблицю Піфагора, оскільки вважають її занадто складною для восьмирічних учнів. Звичайні таблички із прикладами на множення видаються простішими й такими, що більше підходять для дітей. Але в математиці завжди треба вибирати шлях розуміння, а не заучування. Основою математики є система умовиводів та логічних доведень. Краще подолати трішки складніший шлях, результати якого стануть міцним усвідомленим підґрунтям для подальших знань. Заучене ж спирається лише на пам’ять, а вона може підвести.

Що таке таблиця Піфагора?

Таблицю Піфагора придумано більше ніж дві тисячі років тому, але досі вона є надзвичайно корисним математичним винаходом. Піфагорійці вважали числа священними й відкрили для людей їхню гармонію та симетрію. Завдяки таблиці Піфагора можемо побачити взаємозв’язок між числами та їхніми квадратами й виконати усі кроки множення від 1 до 10 згідно з певною системою.

Отож, таблиця Піфагора – це сітка із чисел, де у верхньому рядку та лівому стопчикуі розташовані числа від 1 до 10. Кожна комірка таблиці містить число, яке є добутком відповідних чисел рядка і стовпця, які перетинаються у цій комірці. Іншими словами, число в кожній комірці є результатом множення числа з верхнього рядка на число з лівого стовпчика.

Тобто, як бачимо, усі результати множення подаються в таблиці відповідно до певної системи.

Як таблиця Піфагора допомагає вивчати таблицю множення?

Особливості таблиці Піфагора, які будуть корисні дітям:

• Числа в таблиці розміщені системно, даючи змогу простежити закономірності множення й зрозуміти алгоритм збільшення. Це сприяє полегшенню розуміння принципу множення, але також змушує дитину думати: щоб зрозуміти, якими числами заповнити сусідні комірки, треба долучати логіку.
• Числа розміщуються симетрично щодо основної діагоналі. Людський розум легше сприймає симетрію. А це допомагає розумінню та запам’ятовуванню. Не даремно давні піфагорійці вважали симетрію основним принципом краси та гармонії всього у всесвіті.
• Принцип побудови таблиці сприяє розвитку просторового мислення та активує просторову уяву. Щоб зрозуміти, з якими саме числами пов’язана та чи інша комірка, треба добре орієнтуватися на площині.

Отже, робота з таблицею Піфагора допоможе вивчити таблицю множення шляхом розуміння принципів множення. Діти, які вчать табличку множення за допомогою таблиці Піфагора, легко множать й інші числа, особливо якщо їм показати, що можна додавати клітинки в рядках множників. Окрім цього, таблиця Піфагора розвиває логіку, просторове та стратегічне мислення, уміння дотримуватися математичних ритмів і відстежувати симетрію. Тобто у процесі вивчення множення дитина розвиває математичне мислення загалом.

Як вивчати таблицю множення за таблицею Піфагора?

Для початку поясніть дитині, як працювати з таблицею. Зверніть увагу на перший рядок і перший стовпчик таблиці. Поясніть, що перший рядок містить числа, які будемо множити, а перший стовпчик – числа, на які будемо множити. Покажіть, як шукати добуток. Розкажіть, що ця таблиця має багато секретів, які поступово будуть розкриті.

У роботі краще використовувати різні види таблиці Піфагора.

Така таблиця продемонструє дитині симетричність чисел у таблиці множення.

Перетин ліній на цій таблиці виділено кольором, тому дітям буде простіше шукати необхідні клітинки.

Ця таблиця продемонструє, які саме числа доведеться запам’ятати. За її допомогою можна робити різні завдання. Наприклад, заповнювати уже вивчені добутки чи шукати симетричні клітинки.

Надзвичайно корисна річ – таблиця Піфагора з порожніми клітинками. Таких таблиць варто підготувати щонайменше дві. Ось поради, як використовувати таблиці Піфагора з порожніми клітинками:

• Розпочніть вивчення таблиці множення з пояснення принципу множення, використовуючи порожню й заповнену таблицю Піфагора. А також дрібні однотипні предмети (намистини, помпони, кубики lego, фішки чи ґудзики). Що значить 2 · 3? Розкладіть ґудзики на 6 клітинок. Це продемонструє дитині результат множення наочно.

Так варто опрацювати різні приклади таблиці множення.

Оскільки додається усвідомлена дія (замальовування, розкладання предметів), результат множення запам’ятається швидше та надійніше.

• У робочу таблицю з порожніми клітинками можна писати вивчені добутки. Завдяки цьому дитина матиме чітке бачення, скільки чисел іще треба вивчити.

Слід зауважити, що після вивчення таблиці на 2 варто розказати дитині про діагональ із квадратними числами. Нехай дитина замалює ці клітинки.

Поясніть, що туди потраплятимуть особливі числа – квадрати множників. І всі клітинки, які розміщені з іншого боку цієї замальованої лінії, вчити не треба, оскільки числа повторюються.

Щоб полегшити вивчення таблиці множення, можна вчити не від меншого до більшого числа, а від простішого до складнішого. Стратегії такого навчання можуть бути різні. Наприклад, можна вчити спершу множити на 1 та 10, тоді на 2, на 4, на 3, на 5, на 6, на 9. І зрештою, залишиться два приклади на 7 та один приклад на 8. Ви можете вибудувати свою послідовність вивчення. Головне, щоб ви розуміли, що таблицю множення не обов’язково вчити послідовно від 1 до 10. Шукайте варіанти, які підходять вашій дитині. До прикладу, якщо вона добре рахує п’ятірками (5, 10, 15, 20…), то можна вчити таблицю на 5 відразу після таблиці на 2.

Пишіть із дитиною засвоєні числа. З кожним наступним вивченим числом залишатиметься дедалі менше комірок для вивчення, і коли дитина дійде до множення на 7, 8, 9, що зазвичай при традиційному вивченні таблиці множення важко дається дітям, виявиться, що порожніх комірок дуже мало.

Завдання з використанням таблиці Піфагора для вивчення множення:

• тренуйте з дитиною її вміння множити, використовуючи невеликі фрагменти таблиці Піфагора;

• шукайте симетричні комірки;
• попросіть дитину знайти сусідів чисел;
• перевіряйте вивчене на заплутаній таблиці Піфагора;
• тренуйте знання дитиною таблиці множення в незвичний спосіб. Наприклад, малюйте за допомогою множення;
• нехай дитина заповнить пропущені клітинки;

• школяр може потренуватися у множенні, заповнюючи повністю порожню таблицю Піфагора;
• корисно вправлятися у множенні, шукаючи квадрати множників;
• дітям, які вправно множать, запропонуйте головоломку.

Перевірити, як дитина запам’ятала таблицю множення, можна, виконуючи різні цікаві завдання.

Множення – важливий етап у вивченні математики. Якщо організувати його правильно, то можна зміцнити логічні навички дитини та зацікавити математикою, адже у множенні є симетрія, гармонія, загадка і секрети, які треба розгадувати, – все, що люблять діти. Якщо користуватися для вивчення таблиці множення таблицею Піфагора, то процес точно захопить дитину. У результаті вона матиме міцні знання й розвине нові математичні вміння.

Авторка: Наталка Бачко, фахівчиня з домашнього навчання

Теорема Піфагора: формула, історія, доведення

Теорема Піфагора – важлива тема в математиці, яка пояснює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Сторони прямокутного трикутника також називають піфагорійськими катетами. Формула і доведення цієї теореми пояснюється тут на прикладах.

Теорема Піфагора в основному використовується для знаходження довжини невідомої сторони і кута трикутника. За цією теоремою можна вивести формули основи, перпендикуляра та гіпотенузи. Давайте детально вивчимо математику теореми Піфагора тут.

Теорема Піфагора – визначення

Теорема Піфагора стверджує: “У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів двох інших катетів”. Сторони цього трикутника називаються перпендикуляром, основою та гіпотенузою.

Тут гіпотенуза є найдовшою стороною, оскільки вона протилежна до кута 90°. Сторони прямокутного трикутника (скажімо, a, b і c), які мають натуральні значення при піднесенні до квадрата, складають рівняння, яке також називають піфагорійським трикутником.

Історія Теореми Піфагора

Теорема названа на честь грецького математика Піфагора.

Історія Теореми Піфагора – Плімптон 322 | Photo: https://scientificgems.wordpress.com

Теорема Піфагора була вперше відома в стародавньому Вавилоні та Єгипті (починаючи приблизно з 1900 року до нашої ери). Співвідношення було зображено на вавилонській табличці віком 4000 років, відомій зараз як Плімптон 322. Однак цей зв’язок не був широко розрекламований, доки Піфагор не сформулював його явно.

Теорема Піфагора: формула

Теорема Піфагора: формула

Розглянемо трикутник, наведений вище:

де “a” – перпендикуляр,

Згідно з означенням, формула теореми Піфагора має вигляд:

Гіпотенуза 2 = перпендикуляр 2 + основа 2
c 2 = a 2 + b 2

Гіпотенуза 2 = перпендикуляр 2 + основа 2

c 2 = a 2 + b 2

Сторона, протилежна прямому куту (90°), є найдовшою стороною (відомою як гіпотенуза), оскільки сторона, протилежна найбільшому куту, є найдовшою.

Теорема Піфагора: формула, історія, доведення

Розглянемо три квадрати зі сторонами a, b, c, встановлені на трьох сторонах трикутника з однаковими сторонами, як показано на рисунку.

За теоремою Піфагора –

Площа квадрата “a” + Площа квадрата “b” = Площа квадрата “c”

Приклади застосування теореми Піфагора для прямокутних трикутників:

Розглянемо прямокутний трикутник, як показано нижче:

Знайдіть значення x.

X – сторона, протилежна прямому куту, отже, вона є гіпотенузою.

Тепер, за відомою нам теоремою;

Гіпотенуза 2 = основа 2 + перпендикуляр 2

x 2 = 3 2 + 4 2

x 2 = 9+16= 25

Отже, значення x дорівнює 5.

Враховуючи її довгу історію, існує безліч доведень (понад 350) теореми Піфагора, можливо, більше, ніж будь-якої іншої теореми математики. Ось доведення від самого Піфагора.

• Дано довільний прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c,
• Побудуйте квадрат зі сторонами a+b, як показано нижче:

• В результаті утворюється квадрат в центрі зі стороною c і, таким чином, площею c 2

• Однак, якщо ми переставимо чотири трикутники наступним чином в середині квадрата, то побачимо два квадрати всередині більшого квадрата, а саме перший площею а 2 , а другий – площею b 2

• Оскільки більший квадрат має однакову площу в обох випадках, тобто (a+b) 2
• а оскільки чотири трикутники також однакові в обох випадках, то треба зробити висновок, що два квадрати a 2 і b 2 фактично дорівнюють за площею більшому квадрату c 2

Отже, теорему Піфагора доведено.

Зауваження: теорема Піфагора стосується лише прямокутних трикутників.