Куб. Формулы, признаки и свойства куба

Куб (гексаедр) — это трехмерная фигура, которая состоит из шести динаковых квадратов так, что каждый квадрат полностью соприкасается своими четырьмя сторонами к сторонам остальных четырех квадратов под прямым углом. Куб является правильным многогранником, у которого грани образованы из квадратов. Также кубом можно назвать прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.

Определение. Грань куба – это часть плоскости, ограниченная сторонами квадрата.

– каждая грань куба пересекается с четырьмя другими гранями под прямым углом и параллельная шестой грани;

– грани имеют одинаковую площадь, которую можно найти, используя формулы для вычисления площади квадрата.

Определение. Ребро куба – это отрезок, образованный пересечением двух граней куба.
– каждый конец ребра соединен с двумя соседними ребрами под прямым углом;

Определение. Вершина куба – это самая отдаленная от центра куба точка, которая лежит на пересечения трех граней куба.

– каждая вершина образована только тремя гранями и тремя ребрами.
Определение. Центр грани куба (O₁) – это равноудалена точка от всех ребер грани куба.
Определение. Центр куба (O) – это равноудалена точка от всех граней куба.

Определение. Ось куба ( i ) – это прямая, проходящая через центр куба и центры двух параллельных граней куба.

Определение. Диагональ куба ( d ₁) – отрезок, который соединяет противоположные вершины куба и проходит через центр куба.

Определение. Диагональ грани куба ( d ₂) -отрезок, который соединяет противоположные углы грани куба и проходит через центр грани куба.

Определение. Объём куба – это совокупность всех точек в пространстве, ограниченные гранями куба.
Определение. Площадь поверхности куба – это совокупность плоскостей всех граней.
Определение. Периметр куба – это совокупность длин всех ребер куба.

Определение. Сферой вписанной в куб называется сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая касается центров граней куба.

– все шесть граней куба являются касательными плоскостями к вписанной сферы;

Определение. Сферой описанной вокруг куба называется сфера, центр которой совпадает с центром куба и которая соприкасается с восьмью вершинами куба.

– радиус описанной сферы равен половине длины диагонали ( d ₁) куба.
Формула. Объема сферы описанной вокруг куба V через длину ребра a :

Свойства куба

1. В куб можно вписать тетраэдр так, чтобы все четыре вершины тетраэдра лежали на четырех вершинах куба, а все шесть ребер тетраэдра будут лежать на шести гранях куба и ребра будут равны диагонали грани куба.

2. В куб можно вписать правильный шестиугольник так, что все шесть вершин лежат в центрах граней куба.

Координаты вершин куба

1. Координаты вершин куба со стороной a и вершиной D в начале декартовой системы координат так, что ребра этой вершины лежат на осях координат:

A( a , 0, 0), B( a , a , 0), C(0, a , 0), D(0, 0, 0),
E( a , 0, a ), F( a , a , a ), G(0, a , a ), H(0, 0, a ).

2. Координаты вершин куба с длиной стороны 2 a , у которого центр куба находится в начале декартовой системы координат так, что ребра куба параллельны осям координат:

A( a , – a , – a ), B( a , a , – a ), C(- a , a , – a ), D(- a , – a , – a ),
E( a , – a , a ), F( a , a , a ), G(- a , a , a ), H(- a , – a , a ).

Определение. Единичный куб – это куб, у которого длина ребер равна единице.

Пересечение куба плоскостью

1. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через центр куба и центры двух противоположных граней, то в сечении будет квадрат, длина стороны которого будет равна длине ребра куба. Эта плоскость делит куб два равных прямоугольных параллелепипеда.

2. Если пересечь куб с ребром a плоскостью, проходящей через центр куба и два параллельных ребра, то в сечении будет прямоугольник со сторонами a и a √ 2 , площадью сечения a 2 √ 2 . Эта плоскость делит куб две равные призмы.

3. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через центр и середины шести граней, то в сечении будет правильный шестиугольник со стороной a √ 2 /2, площадью сечения a 2 (3√ 3 )/4. У куба одна из диагоналей (FC) каждой грани, что пересекаются, перпендикулярна стороне шестиугольника.

4. Если пересечь куб плоскостью, проходящей через три вершины куба, то в сечении будет правильный треугольник со стороной a √ 2 , площадью сечения a 2 √ 3 /2 и объемом большей части – 5 a 3 /6 и меньшей – a 3 /6. Одна из диагоналей куба (EC) перпендикулярна к плоскости сечения и проходит через центр треугольника (M) и делится плоскостью в отношении MC:EМ = 2:1.

Куб. Формули, ознаки та властивості куба

Куб (гексаедр) — це тривимірна фігура, яка складається з шести днакових квадратів так, що кожен квадрат повністю дотикається своїми чотирма сторонами до сторін інших чотирьох квадратів під прямим кутом. Куб є правильним багатогранником у якого грані утворені з квадратів. Також кубом можна назвати прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні.

Означення. Грань куба – це частина площини, обмежена сторонами квадрату.

– кожна грань куба перетинається з чотирма іншими гранями під прямим кутом та паралельна шостій грані;

– грані мають однакову площу, яку можна знайт искориставшись формулами для площі квадрата.
Означення. Ребро куба – це відрізок, утворений перетином двох граней куба.
– кожен кінець ребра з’єднаний з кінцями двох сусідніх ребер під прямим кутом;

Означення. Вершина куба – це найвіддаленіша точка від центру куба, яка лежить на перетині трьох граней куба.

– кожна вершина утворена тільки трьома гранями та трьома ребрами.
Означення. Центр грані куба (O₁) – це рівновіддалена точка від усіх ребер грані куба.
Означення. Центр куба (O) – це рівновіддалена точка від усіх граней куба.

Означення. Вісь куба ( i ) – це пряма, яка проходить через центр куба та цетри двох паралельних граней куба.

Означення. Діагональ куба ( d ₁) – відрізок, який з’єднує протилежні вершини куба та проходить через центр куба.

– діагоналі куба перетинаються під прямим кутом та діляться навпіл у центрі куба;

Означення. Діагональ грані куба ( d ₂) – відрізок, який з’єднує протилежні кути грані куба та проходить через центр грані куба.

Означення. Об’єм куба – це сукупність усіх точок в просторі, що обмежені гранями куба.
Означення. Площа поверхні куба – це сукупність площин усіх граней.
Означення. Периметр куба – це сукупність довжин всіх ребер куба.

Означення. Сферою вписаною в куб називається сфера, яка має центр спільний з центром куба та дотикається до центрів граней куба.

– всі шість граней куба є дотичними площинами до вписаної сфери;

Означення. Сферою описаною навколо куба називається сфера, яка має центр спільний з центром куба та дотикається до восьми вершин куба.

– радіус описаної сфери рівний половині довжини діагоналі ( d ₁) куба.
Формула. Об’єму сфери описаної навколо куба V через довжину ребра a :

Властивості куба

1. В куб можна вписати тетраедр так, щоб всі чотири вершини тетраедра лежали на чотирьох вершинах куба, а всі шість ребер тетраедра лежатимуть на шести гранях куба і ребра будуть рівні діагоналі грані куба.

2. Куб описує октаедр так, що всі шість вершин октаедра лежать в центрах граней куба.
3. Октаедр описує куб так, щоб всі вісім вершин куба розташовані в центрах восьми граней октаедра.

Координати вершин куба

1. Координати вершин куба зі стороною a та вершиною D у початку декартової системи координат так, що ребра цієї вершини лежать на вісях координат:

A( a , 0, 0), B( a , a , 0), C(0, a , 0), D(0, 0, 0),
E( a , 0, a ), F( a , a , a ), G(0, a , a ), H(0, 0, a ).

2. Координати вершин куба з довжиною сторони 2 a , у якого центр куба розташований в початку декартової системи координат так, що ребра куба паралельні вісям координат:

A( a , – a , – a ), B( a , a , – a ), C(- a , a , – a ), D(- a , – a , – a ),
E( a , – a , a ), F( a , a , a ), G(- a , a , a ), H(- a , – a , a ).

Означення. Одиничний куб – це куб, у якого довжина ребер дорівнює одиниці.

Перетин куба площиною

1. Якщо перетнути куб площиною, яка проходить через центр куба та центри двох протилежних граней, то в перерізі буде квадрат довжина сторони, якого буде дорівнювати довжені ребра куба. Ця площина ділить куб два рівних прямокутних паралелепіпеда.

2. Якщо перетнути куб з ребром a площиною, яка проходить через центр куба та два паралельних ребра, то в перерізі буде прямокутник зі сторонами a і a √ 2 , площею перерізу a 2 √ 2 . Ця площина ділить куб дві рівні призми.

3. Якщо перетнути куб площиною, яка проходить через центр та середини шести граней, то в перерізі буде правильний шестикутник зі стороною a √ 2 /2, площею перерізу a 2 (3√ 3 )/4. У куба одна з діагоналей (FC) кожної грані, що перерізаються, перпендикулярна до сторони шестикутника.

4. Якщо перетнути куб площиною, яка проходить через три вершини куба, то в перерізі буде правильний трикутник зі стороною a √ 2 , площею перерізу a 2 √ 3 /2 та об’ємом більшої частини – 5 a 3 /6 та меншої – a 3 /6. Одна з діагоналей куба (EC) перпендикулярна до площини перерізу та проходить через центр трикутника (M) та ділиться площиною в выдношенні MC:EМ = 2:1.