Порядок арифметичних дій

Арифметичні дії : множення й ділення, додавання й віднімання.

Дії першого ступеня: додавання і віднімання.

Дії другого ступеня: множення і ділення.

У виразі без дужок з діями додавання і віднімання виконуємо їх в порядку запису.

Зауважимо, що в таких виразах для зручності дозволяється переставляти компоненти.

13 + 9 – 5 = 9 – 5 + 13 = 4 + 13 = 17

У виразі без дужок з діями множення і ділення виконуємо їх в порядку запису.

У виразі без дужок з діями множення, ділення, додавання, віднімання спочатку виконуємо дії множення і ділення в порядку запису, а потім додавання і віднімання в порядку запису.

11 + 6 : 2 • 3 = 11 + 3 • 3 = 11 + 9 = 20

11 + 6 : 2 + 6 • 3 = 11 + 3 + 18 = 14 + 18 = 32

Дужки — особливі знаки, які визначають порядок виконання дій у виразі.

Порядок виконання дій у виразах з дужками:

1) Дії в дужках.

2) Множення і ділення (по порядку).

3) Додавання і віднімання (по порядку).

У цьому виразі дужки вказують на те, що першою дією треба знаходити суму чисел, а другою — різницю, і відповідно читаємо «від числа 30 відняти суму чисел 70 і 10».

6 : (3 – 2) • 2 = 6 : 1 • 2 = 6 • 2 = 12

У цьому виразі дужки вказують на те, що першою дією треба знаходити різницю, потім частку і добуток, відповідно читаємо «6 поділити на різницю чисел 3 і 2 та помножити на 2».

Загальне правило виконання арифметичних дій :

1) якщо у виразі без дужок наявні дії тільки одного ступеня, то їх виконують по порядку запису зліва направо;

2) якщо у виразі без дужок наявні дії першого і другого ступеня, то спочатку виконують дії другого ступеня (множення, ділення згідно правила 1), потім – дії першого ступеня (додавання, віднімання згідно правила 1);

3) якщо у виразі є дужки, то спочатку виконують дії в дужках (враховуючи при цьому правила 1, 2), а потім відповідно всі інші дії (враховуючи при цьому правила 1, 2).

Урок 9. Порядок арифметичних дій у числовому виразі. Дії першого і другого ступеня, дужки

Bankchart.com.ua розповідає, які дії відносяться до дій першого та другого ступенів, який порядок дій у числовому виразі без дужок і у виразі з квадратними, фігурними дужками. Що спочатку ділення чи віднімання, яка перша дія множення чи ділення, що перше додавання чи віднімання? – відповідь шукайте у нашому уроці з математики.

Путівник за статтею

УРОКИ МАТЕМАТИКИ ДЛЯ ВСІХ

Дії першого і другого ступеня з натуральними числами. Порядок дій

Ми вже розглянули арифметичні дії додавання і віднімання. Ці дії називаються діями першого ступеня. Множення і ділення прийнято вважати діями другого ступеня. Якщо у математичному виразі є декілька дій, включаючи дії і першого, і другого ступеня, є різні числа, відповідно результат залежатиме від порядку виконаних дій. Тому при розв’язанні прикладів варто дотримуватись правильного порядку дій.

Якщо у виразі нема дужок і присутні лише дії другого ступеня, то дії виконують у тому порядку, в якому вони написані, зліва направо.

Наприклад, 80 : 4 ⋅ 2 : 10 = 20 ⋅ 2 : 10 = 40 : 10 = 4

Якщо у виразі нема дужок і присутні лише дії першого ступеня, то дії виконують у тому порядку, в якому вони написані, зліва направо.

Наприклад, 56 + 10 – 25 + 30 = 66 – 25 + 30 = 41 + 30 = 71

Якщо у виразі нема дужок і трапляються дії різних ступенів, то спочатку виконують дії вищих (дії другого ступеня), а потім нижчих ступенів (дії першого ступеня). Множення і ділення вважаються діями вищих ступенів, додавання і віднімання – діями нижчих ступенів.

Наприклад, 43 + 25 ⋅ 4 – 10. Спочатку виконаємо множення 25 ⋅ 4 = 100, 43 + 100 – 10 = 133.

Якщо у виразі є дужки, то спочатку виконуємо дії в дужках, а потім всі інші згідно порядку дій. Якщо в дужках записано вираз із декілька дій вищих і нижчих ступенів, то в дужках також спочатку виконуємо дії вищих ступенів.

Спочатку додавання чи віднімання?

Додавання і віднімання є діями першого ступеня, якщо нема дужок, то вони виконуються почергово зліва направо.

Яка перша дія – множення чи ділення?

І множення, і ділення – це дії другого ступеня, вони є «рівноправними». Тому, якщо нема дужок, дії виконуються почергово зліва направо.

Спочатку множення чи додавання?

Оскільки множення є дією вищого ступеня, а додавання – дією нижчого ступеня, якщо нема дужок, то спочатку виконуємо множення.

Що спочатку – ділення чи віднімання?

Оскільки ділення є дією вищого ступеня, а віднімання – дією нижчого ступеня, якщо нема дужок, то спочатку виконуємо ділення.

Алгоритм обчислення числового виразу

Перед обчисленням числового виразу варто визначити порядок дій і лише після цього приступати до розрахунків.

Розглянемо вираз із декількома діями та дужками.

(53 – 42 : 7) ⋅ (22 ⋅ 2 +36 – 12) + 30

Першочерговість дій в даному виразі буде такою:

• 42 поділити на 7 (42 : 7 = 6)
• Від 53 відняти результат першої дії: 53 – 6 = 47
• В других дужках спочатку треба виконати множення 22 на 2: 22 ⋅ 2= 44
• До результату множення додаємо 36: 44 + 36 = 80
• Від отриманої суми віднімаємо 12: 80 – 12 = 68
• Перемножимо множники, які є результатами виконання дій в перших і других дужках: 47 ⋅ 68 = 3196
• До добутку додаємо 30: 3196 + 30 = 3226

Відповідь: (53 – 42 : 7) ⋅ (22 ⋅ 2 +36 -12) + 30 = 3226

Порядок дій з круглими, квадратними і фігурними дужками

В математичних виразах зустрічаються не лише круглі () дужки, а й квадратні – [ ] і фігурні < >. Фігурні і квадратні дужки використовують тоді, коли в дужки необхідно взяти вираз в дужках. Порядок дій з дужками наступний: спочатку виконуємо дії всередині круглих дужок згідно правил послідовності, другий етап – дії в квадратних дужках, третій етап – дії у фігурних дужках згідно правил послідовності.

Розглянемо вираз з круглими та квадратними дужками

100 – 4 ⋅ [14 + 45 : (10 + 5)] + 6 ⋅ (30 + 4 ⋅ 5 + 10).

30 + 4 ⋅ 5 + 10 = 30 + 20 + 10 = 60

1. Виконаємо дії в квадратних дужках: 14 + 45 : 15 = 17
2. Виконаємо решту дій: 100 – 4 ⋅ 17 + 6 ⋅ 60 = 100 – 68 + 360 = 32 + 360 = 392

Порядок арифметичних дій (ДСМДДВ)

Порядок арифметичних дiй визначає порядок виконання розрахункiв. На цьому етапi ми позначатимемо порядок арифметичних дiй абревiатурою ДСМДДВ (Дужки, Степенi, Множення, Дiлення, Додавання та Вiднiмання) .

ДСМДДВ

• Спочатку розкриваємо дужки та пiдносимо числа до степеня.
• Потiм виконуємо множення й дiлення.
• Нарештi, виконуємо додавання й вiднiмання.

Крiм того, перш нiж виконати дiї в порядку ДСМДДВ, обов’язково виконуємо дiї в дужках у порядку СМДДВ (пiднесення до степеня, множення, дiлення, додавання й вiднiмання), щоб спростити подальшi розрахунки.

Дотримуємось порядку ДСМДДВ. Спершу потрiбно з’ясувати, чи є в нас дужки або степенi, якi потрiбно обчислити. Потiм виконуємо множення й дiлення, i, нарештi, додавання й вiднiмання:

Обчисли ( 6 − 2 2 ) ⋅ 6 + 3 .

Дотримуємось порядку ДСМДДВ. Перш нiж розкрити дужки, потрiбно виконати в них усi дiї. Потiм обчислюмо дужки та степенi. Пiсля цього виконуємо множення й дiлення, i, нарештi, додавання й вiднiмання:

( 6 − 2 2 ) ⋅ 6 + 3 = ( 6 − 4 ) ⋅ 6 + 3 = ( 2 ) 6 + 3 = 1 2 + 3 = 1 5

Обчисли 1 2 : ( 4 − 6 ) + 8 ⋅ 5 .

Дотримуємось порядку ДСМДДВ. Спершу потрiбно з’ясувати, чи є в нас дужки або степенi, якi потрiбно обчислити. Потiм виконуємо множення й дiлення, i, нарештi, додавання й вiднiмання:

1 2 : ( 4 − 6 ) + 8 ⋅ 5 = 1 2 : ( − 2 ) + 4 0 = − 6 + 4 0 = 3 4 Як бачимо, тут ми виконали множення в останньому членi i виконали дiї всерединi дужок. Коли опануєш порядок ДСМДДВ, то також зможеш це зробити це, адже обидвi дiї виконуються з рiзними членами.

Дотримуючись того самого порядку арифметичних дiй, що й в iнших прикладах, отримуємо

2 2 − 3 + 5 ⋅ 8 : ( 1 − 3 ⋅ 1 ) = 2 2 − 3 + 5 ⋅ 8 : ( 1 − 3 ) = 2 2 − 3 + 5 ⋅ 8 : ( − 2 ) = 4 − 3 + 5 ⋅ 8 : ( − 2 ) = 4 − 3 + 5 ⋅ ( − 4 ) = 4 − 3 − 2 0 = − 1 9

2 2 − 3 + 5 ⋅ 8 : ( 1 − 3 ⋅ 1 ) = 2 2 − 3 + 5 ⋅ 8 : ( 1 − 3 ) = 2 2 − 3 + 5 ⋅ 8 : ( − 2 ) = 4 − 3 + 5 ⋅ 8 : ( − 2 ) = 4 − 3 + 5 ⋅ ( − 4 ) = 4 − 3 − 2 0 = − 1 9