§ 11. Рух твердого тіла
Перш за все домовимося, що розглядатимемо абсолютно тверде тіло. Відстань між будь-якими двома точками такого тіла є незмінною, тобто абсолютно тверде тіло не зазнає деформацій. Зрозуміло, що йдеться про модель реального твердого тіла в умовах, коли його деформаціями можна знехтувати.
Найпростішим можливим рухом твердого тіла є поступальний рух, коли в будь-який момент швидкості всіх точок тіла є однаковими (тобто якщо швидкість якоїсь точки тіла змінюється, то «синхронно» змінюються й швидкості всіх інших точок).
Під час поступального руху тіло не змінює своєї орієнтації відносно осей координат. Саме так рухаються кабінки під час обертання колеса огляду (рис. 11.1).
Рис. 11.1. Поступальний рух кабінок колеса огляду: кожна деталь кабінки зберігає свій напрям у просторі під час обертання колеса
У загальному ж випадку швидкості руху різних точок твердого тіла є різними. Проте між ними є певний зв’язок, завдяки якому відстані між точками не змінюються. Можна подумки «розбити» рух твердого тіла на рух якоїсь його точки та обертання тіла навколо осі, що проходить через цю точку. Наприклад, рух колеса є «сумою» руху його центра та обертання колеса навколо осі, що проходить через центр. Якщо ж колесо котиться без проковзування, то швидкість його нижньої точки відносно дороги дорівнює нулю; тому рух колеса можна вважати просто обертанням навколо «миттєвої осі», що проходить через нижню точку колеса (рис. 11.2).
Рис. 11.2. Два способи опису руху колеса: а — обертання навколо рухомої осі О1, б — обертання навколо нерухомої миттєвої осі О2
Характер руху тіла визначають сили, що діють на нього. Розгляньмо як приклад плоску пластину, що лежить на гладенькій горизонтальній поверхні. Якщо прикласти до пластини в точці А (рис. 11.3) силу в напрямі 1 або 2, пластина набуде обертання проти ходу годинникової стрілки. Якщо сила діє в напрямі 3 або 4 — виникне обертання за ходом годинникової стрілки. І тільки якщо сила буде напрямлена вздовж «зеленої» прямої, ця сила не спричинить обертання, пластина рухатиметься поступально. Сила, прикладена в точці В, спричинить поступальний рух тіла, тільки якщо буде напрямлена вздовж «червоної» прямої, сила в точці D — вздовж «синьої» тощо. Усі відповідні прямі перетинаються в одній точці С, яку називають центром мас тіла.
• Центр мас тіла — точка, через яку має проходити лінія дії сили, щоб під дією цієї сили тіло рухалося поступально.
Рис. 11.3. Центр мас тіла С: якщо сила діє вздовж однієї з прямих, що проходять через точку С, то тіло рухається поступально
Положення центра мас залежить від форми та розмірів тіла, а також від розподілу мас всередині цього тіла. Якщо подумки розбити тіло на окремі матеріальні точки, то можна довести, що радіус-вектор центра мас задається виразом
де знак Σ позначає суму, а індекс k нумерує окремі матеріальні точки.
Якщо рух тіла не є поступальним, то траєкторії руху різних точок цього тіла можуть бути дуже складними. Це стосується, наприклад, траєкторій руху різних точок каменя, який кинули з високого берега в річку. Але центр мас цього каменя рухатиметься по параболі, якщо можна знехтувати опором повітря.
Наведений приклад ілюструє теорему про рух центра мас (справедливу не тільки для руху твердого тіла, а й для руху довільної системи тіл).
• Центр мас системи рухається так, як рухалася б матеріальна точка, в якій зосереджена вся маса системи і до якої прикладені всі зовнішні сили, що діють на систему.
Зверніть увагу!
Внутрішні сили в системі тіл не впливають на рух центра мас цієї системи.
Розберемося глибше
2. Основне рівняння динаміки обертального руху
Рис. 11.4. Рух матеріальної точки по колу під дією зовнішньої сили
Скориставшись формулою аτ = r|β| і |Μ| = F⟂r, отримаємо зв’язок між кутовим прискоренням і моментом зовнішньої сили: mr 2 | β| = |Μ|. Легко переконатися, що β і М мають однакові знаки, тому mr 2 β = М. Очевидно, що коли на матеріальну точку діють кілька сил, у правій частині цього рівняння буде сума їх моментів.
Якщо розглядати тверде тіло як систему матеріальних точок, то можна записати систему рівнянь аналогічно тому, як ми це робили для виведення формули (2). Слід також урахувати, що для взаємодії двох матеріальних точок з номерами k, і із третього закону динаміки випливає співвідношення Mk–i = -Mi–k (рис. 11.5).
Рис. 11.5. Сили дії та протидії між двома матеріальними точками напрямлені протилежно. Ці сили мають не тільки однакові модулі, а й однакове плече l відносно осі обертання, тому їх моменти однакові за модулем та протилежні за знаками
Для твердого тіла виконується рівняння (Σmkrk 2 )β = M де М — сумарний момент зовнішніх сил відносно осі обертання. Величину I = Σmkrk 2 називають моментом інерції тіла відносно певної осі. Отже, основне рівняння динаміки обертального руху має вигляд
Момент інерції (одиниця цієї фізичної величини — кг • м 2 ) так само характеризує інертність тіла щодо його обертання навколо осі, як маса — інертність щодо поступального руху. Проте, на відміну від маси, момент інерції залежить і від розмірів тіла, і від розподілу маси всередині цього тіла, і від розташування осі обертання (її напряму та відстані від центра мас тіла). Момент інерції тіла легко змінити, не змінюючи складу цього тіла. Наприклад, якщо ви станете на обертовий диск (рис. 11.6) і зміните положення рук, то ви суттєво зміните момент інерції свого тіла відносно вертикальної осі обертання, що проходить через центр диска. Інформацію щодо моменту інерції різних тіл і приклади розв’язування задач ви знайдете за посиланням.
Рис. 11.6. Зміна моменту інерції тіла без зміни його маси: I1 > I2
Підбиваємо підсумки
Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, його рух описує основне рівняння динаміки обертального руху: Іβ = М. Тут I = Σmkrk 2 — момент інерції тіла відносно осі обертання, а М — сумарний момент зовнішніх сил відносно цієї осі.
Контрольні запитання
1. Який рух твердого тіла називають поступальним? 2. Що таке центр мас тіла? 3. Яка формула визначає радіус-вектор центра мас тіла? 4. У чому полягає теорема про рух центра мас? 5. Що таке момент інерції твердого тіла відносно осі обертання? б. Які величини пов’язує основне рівняння динаміки обертального руху?
1. Дві кульки масами по 100 г з’єднані невагомим стрижнем. Цю «гантель» кинули під кутом до горизонту. Опором повітря можна знехтувати. Чи можете ви визначити прискорення руху: а) центра кожної кульки; б) центра мас системи?
2. Коли до зрівноваженого важеля приклали додаткову силу 0,1 Н, плече якої дорівнювало 10 см, важіль набув кутового прискорення 0,05 рад/с 2 . Визначте момент інерції важеля.
3. Дві маленькі кульки масами по 10 г з’єднані невагомим стрижнем. Відстань між центрами кульок дорівнює 10 см. Визначте момент інерції системи відносно осі, що проходить через центр стрижня перпендикулярно до нього.
4. Два вантажі підвішені на невагомій нерозтяжній нитці, яку перекинуто через нерухомий блок масою 40 г. Вантажі рухаються з прискоренням 0,5 м/с 2 . Визначте різницю сил натягу нитки по різні боки від блока. Блок уважайте однорідним диском, тертя в осі блока відсутнє, нитка по блоку не проковзує.
5. До кінців легкої горизонтальної лінійки завдовжки 30 см підвісили тягарці масами 400 і 100 г. Лінійку закріпили на осі на відстані 10 см від більшого тягарця. З яким прискоренням рухатиметься цей тягарець відразу після того, як лінійку відпустять?
УСІ УРОКИ ФІЗИКИ 10 клас
Якщо до тіла в стані спокою прикласти силу, воно почне рухатися поступально лише в тому випадку, коли лінія дії сили проходить через точку, що називається центром мас тіла. А оскільки під дією сили тяжіння тіло рухається поступально, центр ваги збігається з центром мас.
Хоча центр ваги збігається з центром мас, але ці поняття не треба плутати.
Ø Центр мас — це властивість тіла, і вона ні від чого не залежить, а центр ваги не властивий тілу й залежить від умов, у яких перебуває тіло.
Центр мас однорідного центральносиметричного тіла збігається з його геометричним центром симетрії. Наприклад, центр мас трикутника перебуває в точці перетину його медіан.
2. Методи визначення центра мас тіла
З експериментальним методом ми ознайомилися, коли визначали центр ваги плоскої фігури (див. § 26).
Геометричний метод визначення центра мас плоскої фігури є дуже зручним, якщо фігуру можна розбити на такі прості фігури, центр мас яких відомий.
Наприклад, нам необхідно визначити центр мас фігури, зображеної на рисунку. Розіб’ємо її спочатку на квадрат і трикутник (рис. а), знайдемо їхні центри мас (точки О1 і О2) і проведемо пряму О1О2.
Центр мас нашої фігури розташований на цій прямій. Далі розіб’ємо фігуру на два трикутники (рис. б), знайдемо їх центри мас (точки О3 і О4), проведемо пряму О3О4. Центр мас досліджуваної фігури знаходиться на перетині прямих О1О2 і О3О4.
Центр мас можна знайти й аналітично.
Знайдемо центр мас однорідної плоскої пластини, зображеної на рисунку.
Припустимо, що центр мас розташований у точці О. Якщо подумки підвісити пластинку в цій точці, вона не обертатиметься, оскільки лінії дії сили натягу нитки й сили тяжіння проходять через центр ваги пластинки. Тепер розіб’ємо пластинку на дві частини (квадрат і коло). Розташування центрів мас цих фігур відомі. Зобразимо сили тяжіння, що діють на кожну з частин пластинки, і плечі цих сил. Оскільки пластинка не обертається, то сума моментів сил m1g і m2g відносно точки О дорівнює нулю:
Тут масу кожної частини обчислили за формулою m = ρV = ρSd, де ρ — густина пластинки; S — її площа; d — товщина.
Знаючи, що площі S1 = a2, S2 = а2, остаточно дістаємо: l1 = l2.
Якщо підвісити на цвях учнівську лінійку, то після кількох коливань лінійка зупиниться в стані рівноваги. У цьому випадку сила пружності цвяха й сила тяжіння спрямовані вздовж однієї прямої й зрівноважують одна одну. Моменти цих сил відносно осі обертання дорівнюють нулю.
Якщо відхилити лінійку від положення рівноваги, то лінійка знову повернеться в попередній стан. Таку рівновагу називають стійкою.
Ø Рівновагу тіла називають стійкою, якщо після будь-яких незначних відхилень тіла від положення рівноваги тіло знову повертається в початкове положення.
Аналізуючи зображення (див. рис.), можемо зробити висновок, що рівнодійна сил повертає тіло у початкове положення. При цьому центр мас тіла розташований нижче за точку підвісу й займає найнижче положення з усіх можливих.
У загальному випадку тіло перебуває в стані стійкої рівноваги, коли рівнодійна сил повертає тіло в стан рівноваги, або моменти цих сил прагнуть повернути тіло в положення рівноваги.
Ø Рівновагу тіла називають нестійкою, якщо після будь-яких незначних відхилень тіла від положення рівноваги тіло ще більше відхиляється від початкового положення.
У цьому випадку центр мас тіла опускається, а моменти сил, що діють на тіло, прагнуть ще більше відхилити тіло від положення рівноваги.
Ø Рівновагу тіла називають байдужою, якщо після будь-яких незначних відхилень тіла від положення рівноваги тіло залишається у своєму новому положенні.
При цьому центр мас тіла в усіх можливих положеннях залишається на тому самому горизонтальному рівні, а сума моментів сил дорівнює нулю.
4. Стійкість рівноваги тіла
На завершення уроку розглянемо питання: чим визначається стійкість рівноваги тіла, що знаходиться на горизонтальній поверхні? Виконуючи досліди з похилою призмою, можна встановити:
✵ якщо трохи нахилити тіло — так, щоб вертикаль, яка проходить через центр ваги, не вийшла за межі площі опори, момент сили тяжіння поверне тіло в початкове положення рівноваги;
✵ тільки-но кут нахилу стане настільки великим, що вертикаль, яка проходить через центр ваги, вийде за межі площі опори, тіло перекинеться.
Ø Для рівноваги тіла на опорі необхідно, щоб вертикаль, проведена через центр ваги, не виходила за межі площі опори.
Збільшити стійкість тіла можна, розміщаючи центр ваги якнайнижче або збільшуючи площу опори. Наприклад, проектуючи автомобіль, його нижню частину роблять важчою, а верхню — більш легкою. А для збільшення стійкості піднімальних кранів збільшують площу опори.
Запитання до учнів під час викладу нового матеріалу
1. Де прикладена рівнодійна кількох сил, що спричиняють поступальний рух тіла?
2. Що називають центром ваги?
3. Чи може центр мас перебувати поза тілом?
4. Наведіть приклади положення центра мас найпростіших фігур.
5. Наведіть приклади, коли тіло перебуває в стійкій, нестійкій і байдужій рівновазі.
ЗАКРІПЛЕННЯ ВИВЧЕНОГО МАТЕРІАЛУ
1). Тренуємося розв’язувати задачі
1. Одна половинка металевого бруска складається з міді, а інша — з алюмінію (див. рис.). Визначте розташування центра мас бруска, якщо його довжина — 10 см.
2. Визначте розташування центра ваги плоскої фігури, зображеної на рисунку, якщо радіус великого кола — 8 см.
1. Чи можна ототожнювати поняття матеріальної точки й центра мас?
2. Чи існує відмінність між поняттями «центр мас» і «центр ваги»?
3. Чому олівець ніколи не плаває в широкій посудині вертикально?
✵ Центр мас — це властивість тіла, і вона ні від чого не залежить, а центр ваги не властивий тілу й залежить від умов, у яких перебуває тіло.
✵ Рівновагу тіла називають стійкою, якщо після будь-яких незначних відхилень тіла від положення рівноваги тіло знову повертається в початкове положення.
✵ Рівновагу тіла називають нестійкою, якщо після буд-яких незначних відхилень тіла від положення рівноваги тіло ще більше відхиляється від початкового положення.
✵ Рівновагу тіла називають байдужою, якщо після будь-яких незначних відхилень тіла від положення рівноваги тіло залишається у своєму новому положенні.
✵ Для рівноваги тіла на опорі необхідно, щоб вертикаль, проведена через центр ваги, не виходила за межі площі опори.
Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування
Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.
Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.
Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.
Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.
Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.