Що таке рівняння сфери?

Сферу можна розглядати як зовнiшнiй шар баскетбольного м’яча. Поверхню сфери можна описати математично за допомогою рiвняння:

Рiвняння сфери

Поверхню сфери з радiусом r 0 та центром у точцi ( x 0 , y 0 , z 0 ) можна описати рiвнянням

У бiльшостi випадкiв готової версiї цього рiвняння у завданнях ти не знайдеш. Його доведеться переписати, «доповнивши до повного квадрата», в такий спосiб:

Виконай такi дiї, щоб доповнити квадрати:

Визнач, чи є вираз рiвнянням сфери

Починаємо з многочлена другого ступеня такої форми::

Зверни увагу! Коефiцiєнти для членiв другого ступеня дорiвнюють 1.

1. Спочатку працюємо з членами x :

по обидва боки Формула (1). Отримуємо

Повтори цi дiї для членiв y i, нарештi, для членiв z .

3. Тепер виражаємо весь лiвий бiк рiвняння як суму квадратiв. Розмiщуємо всi константи праворуч i додаємо їх разом. Якщо правий бiк додатний, його можна записати як r 2 , i вираз набуде вигляду рiвняння для сфери:

Усi цi дiї можуть здатися складними, але їх легше буде зрозумiти на прикладi.

Ймовiрно, це рiвняння для сфери:

З’ясуй, чи так це, i якщо так, то визнач центр i радiус сфери.

Для цього застосовуємо описаний вище порядок дiй. Члени x , y i z потрiбно переписати, видiливши повнi квадрати.

Цi кроки можна виконувати одночасно, адже метою є доповнення до повних квадратiв. Щоб доповнити x 2 + 4 x до повного квадрата, подiли 4 (число перед x ) на 2 i додай квадрат рiзницi з обох бокiв рiвняння. Отримаєш:

x 2 + 4 x + ( 4 2 ) 2 + ⋯ = ⋯ + ( 4 2 ) 2 ( x + 4 2 ) 2 + ⋯ = ⋯ + ( 4 2 ) 2

Щоб доповнити y 2 − 2 y до повного квадрата, додай ( − 2 2 ) 2 з обох бокiв рiвняння. Отримаєш:

y 2 − 2 y + ( − 2 2 ) 2 + ⋯ = ⋯ + ( − 2 2 ) 2 ( y + − 2 2 ) 2 + ⋯ = ⋯ + ( − 2 2 ) 2

Як бачимо, z 2 вже є повним квадратом, тож не чiпаємо його.

Тепер просто об’єднуємо наведенi вище обчислення:

x 2 + 4 x + y 2 − 2 y + z 2 = 4 ( x + 4 2 ) 2 + ( y + − 2 2 ) 2 + z 2 = 4 + ( 4 2 ) 2 + ( − 2 2 ) 2 ( x + 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + z 2 = 4 + 4 + 1 ( x + 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + z 2 = 3 2

x 2 + 4 x + y 2 − 2 y + z 2 = 4 ( x + 4 2 ) 2 + ( y + − 2 2 ) 2 + z 2 = 4 + ( 4 2 ) 2 + ( − 2 2 ) 2 ( x + 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + z 2 = 4 + 4 + 1 ( x + 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + z 2 = 3 2

§ 10. Рівняння руху. Графіки рівномірного прямолінійного руху

РІВНЯННЯ РІВНОМІРНОГО РУХУ. Фор мула s = vt називається рівнянням рівномірного руху. Це рівняння математично виражає залежність пройденого шляху від часу: пройдений при рівномірному прямолінійному русі шлях прямо пропорційний часові.

Мал. 52. Зміна координати тіла під час руху

Враховуючи, що s = vt і вираз s = х – х₀, отримуємо: х = х₀ + vt — рівняння, яке також називають рівнянням руху, воно характеризує переміщення під час рівномірного прямолінійного руху.

Оскільки ми розглядаємо рух тіл, які в початковий момент часу можуть перебувати в довільному місці та можуть рухатись у довільному напрямку з довільною швидкістю, то рівняння руху для кожного тіла матиме свій вигляд.

Розглянемо приклад (мал. 53).

Мал. 53. Початкове положення тіл

З малюнка видно, що автобус і легковий автомобіль рухаються назустріч один одному. Швидкість автобуса 36 км/год, а швидкість автомобіля — 72 км/год. Виразимо ці швидкості в м/с:

У момент спостереження вони перебувають на певній відстані один від одного.

Оберемо систему відліку, у якій будемо досліджувати рух тіл (мал. 54):

— спрямуємо координатну вісь у напрямі руху автобуса;

— початок координат пов’язуємо з тілом відліку, відносно якого досліджуємо рух (наприклад, з деревом, що стоїть обабіч дороги).

Мал. 54. Дослідження руху тіл у вибраній системі відліку

Початкова координата для автобуса дорівнює -50 м, а для автомобіля 40 м.

Запишемо рівняння руху тіл. Складаючи рівняння руху, звертаємо увагу на початкову координату тіла та напрям швидкості руху, що визначатиме знаки «+» та «-» у рівнянні руху, і той факт, що всі величини, які входять до рівняння, мають бути виражені в належних одиницях.

Для автобуса х₁ = -50 + 10t (м);

ГРАФІКИ РІВНОМІРНОГО ПРЯМОЛІНІЙНОГО РУХУ. Для побудови графіків на горизонтальній осі (абсцис) відкладають час, а на вертикальній осі (ординат) — пройдений шлях, модуль переміщення або модуль швидкості руху тіла.

Як відомо, швидкість тіла під час рівномірного прямолінійного руху з часом не змінюється. Тому графік швидкості руху тіла — це пряма, паралельна осі часу t (мал. 55).

Мал. 55. Графік швидкості

Пройдений тілом шлях графічно визначається, як площа прямокутника, обмеженого лінією графіка швидкості та перпендикуляром, опущеним на вісь часу t в точку, яка відповідає часу руху (мал. 55).

Як видно з формули l = vt, між пройденим шляхом і часом існує прямо пропорційна залежність, яка графічно зображується прямою, що проходить через початок координат і розташована в першій чверті координатної площини. Залежно від значення швидкості, нахил ліній буде різним: чим більша швидкість, тим крутіше здіймається графік (мал. 56).

Мал. 56. Графік шляху

Вираз х = х₀ + vt характеризує переміщення в рівномірному прямолінійному русі. Графіком цієї функції, як й у випадку залежності шляху від часу, також є пряма, але її розташування залежить від того, де перебуває тіло на початок спостереження, і куди спрямована швидкість руху тіла.

Звернемось до розглядуваного прикладу: рівняння руху для автобуса х₁ = -50 + 10t (м); для автомобіля х₂ = 40 – 20t (м). Щоб побудувати відповідні графіки руху, застосуємо знання з математики. Підставлятимемо в рівняння довільні значення часу t в секундах і визначатимемо відповідні значення координати тіла. Як відомо, для побудови прямої достатньо двох пар значень.

Для автобуса